心在南方

發表者:黃文璋 主題: 認識機率-6情境解讀 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2009/8/12 下午 05:12:42

    機率既然與我們的生活習習相關,因此若能善用機率,將有助於在隨機世界中,更精準的做決
策。只是卻往往機率應用不易,得到的機率值,常被認為是錯的。而且還眾說紛紜,各提出不同的
機率值。個中原因何在?一主要原因,即情境解讀有誤。

    過去大家在數學課程中,會遇到所謂應用題。題目看懂,寫出數學式子後,便是解數學了。這
時便可拋開原先那段冗長的敘述。但在機率裡,有些看似簡單的情境,因解讀不同,會導致南轅北
轍的結論。底下給幾個例子來看。

    在電影決勝21點(英文片名就是21)中。那位數學教授於課堂上提出一個問題。有3扇門,其中1
扇門後有汽車,另兩扇門後為山羊。你選擇第1扇門後,主持人打開第3扇,見到山羊。問你這時該
不該換選第2扇門?有位學生答:

        Yes, because my chance of getting the car will increase from 33.33% 
        to 66.67% by switching from door 1 to door 2.

教授則說“Very good!”,認同其看法,也就是該換。有些人對此提出質疑。

    比較正確的講法應該是,若主持人事先知道汽車在那扇門後,則他會打開1扇門後是山羊的門
(這是較合理的作法,否則遊戲便無法進行了),這時若換選第2扇門,則如電影中那位學生所述,
得到汽車的機率,將由1/3增加為2/3。但若主持人事先不知汽車在那1扇門後(這當然是少見的情況
),只是隨機地自第2及第3扇門中,任挑一扇打開,且剛好門後是山羊,則便不用換,因換或不換
,得到汽車之機率,皆為1/2。本例之詳細討論,可參考黃文璋(2009a)一文之例6。

    再看一例。有一對夫妻剛搬進某社區,大家只知他們有兩個小孩,並不知性別。某日社區一管
理員,見到此家之媽媽,帶著家中一小孩在玩耍。若該小孩是女孩,求此家兩小孩皆為女孩之機率
。很多人以為此問題不難,認為所求機率就是1/3。其實此問題比我們想像的複雜很多。關鍵在如
何將“見到此家之媽媽,帶著家中一女孩”,轉化為適當機率空間中的事件。也就是要講清楚,究
竟如何帶小孩出門?要注意的是,前述事件並不等同於“此家至少有一女孩”!本問題之詳細討論
,可參考黃文璋(2009a)一文之例8。

    最後看另一常出現於機率論教科書中的例子。平面上有一單位圓,隨機地畫一條弦,求弦長大
於此圓的內接等邊三角形之邊長的機率。利用幾何,單位圓的內接等邊三角形之邊長可求出。但如
何是隨機地畫一條弦呢?要知由1至n的n個正整數中,隨機地取1數,其意義較清楚,就是每一數被
取中的機率皆為1/n。自區間[0, 1]中隨機地取1數,其意義也還明白,就是此數會落在[0, 1]之任
一子區間的機率,為該子區間之長度。但隨機的畫弦,是如何畫法?此處對於“隨機”一詞,可以
有好多種解釋。解釋不同,畫弦的方式將不同,因而求出的機率也就不同。可參考黃文璋(2003a)
第二章例5.3。

    上面這幾個例子告訴我們,在處理機率問題,情境要定義清楚。用術語來說,就是機率空間要
明確給出,否則將導致各說各話。有時雖未給出機率空間,但情境較簡單,大家有共同看法,這時
未特別強調機率空間為何,還沒問題。如“投擲一公正的骰子,求點數大於4之機率”。雖只是簡
單的描述,但大家可能不至於有疑義。當對情境有疑義時,就要如莊子講的,“請循其本”,把機
率空間調出來。此有如政治上或社會上,遇到有重大爭議時,就要祭出憲法,看有沒違憲,並由大
法官解釋。對一給定的情境,要很謹慎的面對。否則即使是機率統計專業人士,也可能解讀錯誤。

    情境解讀之外,機率中一些獨特的概念,像是條件機率,獨立性,及隨機取樣等,也是應用機
率時,得謹慎留意的。這類概念我們已談過不少,可參考黃文璋(2003b)一書。至於機率與統計裡
的一些基本概念,可參考黃文璋(2009b)一文。

    參考文獻
    1. 黃文璋(2003a)。機率論。華泰文化事業股份有限公司,台北。
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